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A tradicional roda que é conhecida atualmente garante que a distância do seu centro até
sua borda seja uma distância constante, o chamado raio; consequentemente a superfícies na qual
ela rola é plana. Existem rodas que não possuem um raio constante a partir do seu centro, como
rodas de formato quadrado e rodas formadas através de frações de espirais e circunferências.
Neste trabalho, apresentamos o resultado de um polígono característico da matemática, o
triângulo de Reuleaux, explorando suas propriedades enquanto tratado como uma roda. O
fascínio das características deste elemento matemático é advindo da curiosidade e do
encantamento que esse objeto representa dentro do campo da matemática. Utiliza-se um software
de geometria dinâmica para identificar propriedades do objeto, e para estabelecer relações no
entendimento das suas especificidades. O triângulo de Reuleaux é um polígono criado pelo
engenheiro e cientista Franz Reuleaux e é construído através de um triângulo equilátero e arcos
de circunferências. Esse polígono difere em algumas propriedades dos conhecidos
tradicionalmente, pois ele possui largura constante. Curvas de larguras constantes são aquelas as
quais a distância entre duas retas paralelas tangentes a suas duas bordas opostas é constante
em qualquer direção quando posta. Visivelmente, a circunferência possui largura constante, pois a
distância entre seu centro e sua borda é constante em qualquer direção. O triângulo de Reuleaux
segue as propriedades de uma curva de largura constante, ou seja, quando postas duas retas
paralelas tangenciando a sua borda, a distância entre elas é sempre a mesma. Para a
visualização dessa característica utilizou-se o Geogebra, software livre que combina conceitos de
geometria e álgebra de forma dinâmica, no qual foram construídas simulações para verificar a
veracidade das propriedades algébricas. Com a construção de parâmetros no software, pode-se
observar que as propriedades são válidas para qualquer tamanho de lado do triângulo e, também,
que o centro da roda não é constante quando posto em movimento. A partir das simulações
bidimensionais, expandiram-se os resultados e generalizaram-se para o triângulo no espaço
tridimensional, caracterizando uma “castanha”. A castanha, nome que foi dado ao objeto obtido na
rotação do triângulo de Reuleaux por uma das suas mediatrizes, também pode ser caracterizada
por um objeto de largura constante, visto que a distância entre dois planos tangentes é constante
independente da direção. A representação dos resultados bidimensionais e tridimensionais foi
feita em protótipos de resina e madeira, tornando-se indispensável o uso de uma impressora 3D
para representar o objeto com precisão. As aplicações do triângulo de Reuleaux podem ser
notadas na confecção de furos quadrados, na arquitetura, palhetas de violão e até mesmo nas
moedas inglesas antigas. Por fim, com a geometria diferencial de curvas, explora-se o Teorema
de Euler, o qual é exemplificado com as curvas triangulares. Curvas triangulares possuem largura
constante e são caracterizadas por cúspides que têm uma única reta tangente por involuta.
Através do Teorema de Barbier é verificado que o comprimento de uma curva de largura
constante depende somente do seu diâmetro e, desse modo, apresenta-se análises algébricas e
curvas de largura constante não triviais. Por fim, verificou-se que o uso do software Geogebra,
permitiu o estudo das propriedades das curvas de largura constante com mais intensidade e
dinâmica nas representações, tornando-se uma ferramenta indispensável. A partir de uma simples
intersecção de círculos, pode-se notar um triângulo não euclidiano com características e
propriedades peculiares, mostrando a riqueza que é o campo matemática

Geometria Diferencial. Reuleaux. Geogebra.