Etimologicamente a palavra otimização advém do nome atribuído à deusa da antiga religião romana Ops ou Opis, de origem Sabine, uma divindade da fertilidade e deusa da terra, tendo sido usada pela primeira vez, na área das ciências exatas, por Leibiniz no século XVII, a fim de referenciar a melhor de todas as possibilidades. Por sua vez a palavra topológico provém do termo grego topos, o qual refere-se a local, lugar, espaço ou domínio. Dessa forma pode ser entendido por otimização topológica como a melhor de todas as possibilidades num dado domínio. Um dos primeiros discursos científicos sobre otimização é atribuído a Galileu Galilei no seu livro Discorsi, Galileo Galilei (1564–1642), acerca da forma ótima de uma viga engastada-livre sujeita a uma solicitação estática na extremidade livre. Sobre isso Venkayya, 1993, afirma que a noção de uma solução ótima para um problema de engenharia é intrigante e tem sido investigada por um longo tempo. A resistência de uma viga engastada sujeita a flexão e constante cisalhamento, tal como formulada por Galileu Galilei foi também uma otimização de forma na busca de um peso mínimo sob uma restrição de tensão uniforme. O problema de Galileu foi, provavelmente, um dos problemas mais antigos de otimização. Outros nomes também contribuíram nessa busca constante pelo ótimo, como Leonhard Paul Euler (1707-1783), Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813), Thomas Clausen (1801-1885), Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) entre outros, que iniciaram investigação acerca da otimização de estruturas sujeitas a carregamentos arbitrários. Naquela época a otimização estrutural já consistia em um tópico intelectualmente atrativo e tecnicamente significativo, mesclando disciplinas como matemática, mecânica e engenharia [Eschenauer e Olhoff, 2001]. Num formato mais próximo do que conhecemos atualmente, os principais estudos são atribuídos a James Clerk Maxwell (1831-1879), na aplicação dos conceitos de otimização nos projetos estruturais civis, e Anthony George Maldon Michell (1870-1959), que em 1904, observando as idéias de Maxwell propôs a otimização de uma estrutura bi apoiada sujeita a um carregamento central, e que até os dias de hoje continua sendo um parâmetro de comparação em estudos de otimização. Classificam e caracterizam-se a otimização estrutural do seguinte modo: I) Otimização topológica: muito útil na fase de concepção do produto, que por sua vez é altamente dependente do engenheiro, e não dispõe de auxílio computacional, busca a quantidade e a localização ótima de furos em meios contínuos, após a aplicação desse tipo de otimização há uma nova distribuição de material ao longo do domínio da estrutura. II) Otimização de forma:aplicada na fase de projeto e após a determinação da topologia ótima, busca a definição ótima dos contornos externos e internos da estrutura. III) Otimização paramétrica: muito utilizada na fase de detalhamento do projeto e após a determinação da topologia e da forma, objetiva determinar valores ótimos para os parâmetros geométricos da estrutura a ser projetada, como: espessura, comprimento, área da seção transversal, entre outros. IV) Otimização de leiaute: muito utilizada em estruturas reticuladas, como treliças e pórticos, envolve simultaneamente as otimizações paramétrica, de forma e topológica, determinando a topologia, a forma e as dimensões ótimas dos elementos estruturais, assim como a localização ótima das juntas que conectam tais elementos. Sigmund et al., 2003, definem o problema geral de otimização topológica como encontrar a melhor distribuição do material num dado domínio de projeto tal que as funções objetivo são otimizadas e as restrições são satisfeitas. Na prática o problema é resolvido discretizando o domínio de projeto num grande número de elementos, permitindo que a densidade do material em cada elemento seja uma variável de projeto. As funções objetivo e de restrição são resolvidas através do método dos elementos finitos usando a mesma malha. As aplicações de otimização são inúmeras, podendo sempre ser empregadas na busca da melhor solução para os problemas desde que haja parâmetros quantificáveis. O crescimento dos estudos sobre otimização só foi possível graças ao aprimoramento dos métodos numéricos e a evolução da área computacional. Pesquisadores da área como Sigmund, 2001, Huang e Xie, 2010b, Andreassen et al., 2011, entre outros, disponibilizaram seus códigos, objetivando o desenvolvimento, o aprimoramento ou ainda somente a divulgação de seus estudos. Dos métodos utilizados em otimização topológica, Huang e Xie, 2010a, afirmam que o método evolucionário de otimização estrutural ESO (Evolutionary Structural Optimization), é um dos mais populares. Sua metodologia fora apresentada por Xie e Steven, 1993, onde num dado domínio de projeto realizou-se a remoção gradual dos elementos menos eficientes até a obtenção do ótimo desejado para a topologia. Querin et al., 1998, aprimoraram o método para o Bidirecional ESO (BESO), Bendsøe e Sigmund, 2003, detacam que, na maximização da rigidez, esses métodos trabalham com o conceito de fully stressed design, i.e. os materiais são adicionados para regiões de altas tensões e retirados em regiões de baixas tensões, tipicamente implementados pela adição e remoção de elementos do modelo de elementos finitos, ou seja, elementos que em algum momento do processo foram retirados da estrutura passaram a poder retornar em novas iterações. Contudo, os resultados não devem ser observados somente do ponto de vista da busca pelo valor ótimo global, mas para comprovação da eficácia do algoritmo utilizado, nesse contexto extremamente significante é o número de iterações utilizadas durante o processo de otimização. Nesse trabalho é apresentado o comportamento de determinados parâmetros de otimização topológica em uma estrutura, observando o desempenho da rigidez quando estes são variados. Através da aplicação do algoritmo BESO (bi-directional evolutionary structural optimization) aplicado em uma viga MBB (Messerschmitt Bölkow Blohm), foi possível observar a influência das variáveis de otimização no leiaute da estrutura. Testes numéricos são realizados com exemplos resolvidos por outros trabalhos prévios. Empregou-se como função objetivo a minimização da flexibilidade, e como parâmetros avaliados, foram utilizados a fração volumétrica, a taxa evolucionária e o raio de filtragem, alterando seus valores e observando a performance das soluções. Os resultados comprovaram forte influência da fração volumétrica, enquanto que o raio de filtragem e a taxa evolucionária apresentaram uma influência menor sobre a topologia final da estrutura.

Palavras-chave: Elementos finitos; Análise estrutural; Otimização topológica.

Orientador: Prof. Ederval de Souza Lisboa, M.Sc.

Referências:

Andreassen, E., Clausen, A., Schevenels, M., Lazarov, B. S. e Sigmund, O. Efficient topology optimization in matlab using 88 lines of code, Structural and Multidisciplinary Optimization, v. 46, p. 1 -16, 2011.

Bendsøe, M. P.; Sigmund, O. Topology optimization: theory, methods, and applications. Berlin: Springer-Verlag, 2003, 370 p.

Huang, X.; Xie, Y. M. Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures: Methods and Applications, Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2010a. 240p.

Huang, X.; Xie, Y. M. A further review of ESO type methods for topology optimization, Structural and Multidisciplinary Optimization, v. 41, p. 671-683, 2010b.

Querin, O. M.; Steven, G. P.; Xie Y. M. Evolutionary structural optimisation (ESO) using a bidirectional algorithm, Engineering Computations, v. 15, p. 1031–1048, 1998.

Xia, L., Xia, Q., Huang, X.; Xie, Y. M. Bi-directional evolutionary structural optimization on advanced structures and materials: a comprehensive review, Archives of Computational Methods in Engineering, p. 1 - 42.

Venkayya, V. B. Introduction: Historical perspective and future direction, Structural Optimization: Status and Promise, v. 150, p. 1–10, 1993.

Eschenauer, H. A.; Olhoff, N. Topology optimization of continuum structures: A review*, Applied Mechanics Reviews, v. 54, p. 331 – 390, 2001.

Michell, A. G. M. The limits of economy of material in frame-structures, Philosophical Magazine, v. 8, p. 589–597, 1904.

Sigmund, O.; Gersborg-Hansen, A.; Habe, R. B. A Topology Optimization for multiphysics problems: A future FEMLAB application? Nordic Matlab Conference (NMC2003), p. 237-242, 2003.

Sigmund, O. A 99 line topology optimization code written in Matlab, Structural and Multidisciplinary Optimization, v. 21, p. 120–127, 2001.