O trabalho retrata a trajetória acadêmica iniciada na Licenciatura em Matemática (IFRS – Campus Caxias do Sul/2019), voltada a projetos de ensino e extensão, e consolidada no Mestrado em Matemática Aplicada (UFRGS/2024). Nesse percurso, o interesse foi direcionado ao estudo de autovalores em grafos, com ênfase no parâmetro q(G). Seja G = (V(G), E(G)) um grafo simples com conjunto de vértices V(G) = {1, 2, …, n} e arestas E(G). Associamos a G o conjunto S(G) de matrizes simétricas reais n × n tais que, para i ≠ j, aij ≠ 0 se, e somente se, ij ∈ E(G). Para uma matriz A, seja DSpec(A) o conjunto de autovalores distintos de A. Define-se então o invariante espectral q(G) = min {|DSpec(A)| : A ∈ S(G)}, denominado número mínimo de autovalores distintos de um grafo. Nos últimos anos, diversos autores têm investigado q(G) em diferentes classes de grafos, como bipartidos, ciclos, join de dois grafos e grafos regulares, ampliando a compreensão sobre suas propriedades e aplicações. Neste trabalho, o foco está na análise de q(G) em grafos threshold conexos, os quais podem ser construídos iterativamente a partir de um vértice isolado, adicionando-se em cada passo ou um novo vértice isolado ou um vértice dominante conectado a todos os anteriores. Essa construção é representada por sequências binárias em blocos do tipo 0^(a1) 1^(a2) 0^(a3) 1^(a4) … , onde ai ≥ 1, para todo i, fornecendo uma caracterização combinatória de grande utilidade. A metodologia combinou diferentes técnicas. Em um primeiro momento, foram utilizadas matrizes de incidência vértice-clique obtidas a partir de coberturas de cliques, permitindo estabelecer resultados em casos específicos. Posteriormente, recorreu-se a representações em termos de cografos e bags, com atribuição de pesos às estruturas dos grafos threshold, o que possibilitou aplicar o algoritmo proposto por Jones et al. (2023). Essa abordagem levou ao cálculo do espectro em famílias particulares de grafos threshold com pesos, culminando em resultados e corolários que determinam explicitamente o número mínimo de autovalores distintos em tais grafos. Os resultados obtidos reafirmam a importância de q(G) como invariante espectral e apontam para uma ampliação da compreensão do comportamento espectral dos grafos o que contribui com novas perspectivas para a Teoria Espectral de Grafos.

Referências:

JONES, Á.; TREVISAN, V.; VINAGRE, C. T. M. Exploring symmetries in cographs: obtaining spectra and energies. Discrete Applied Mathematics, v. 325, p. 120-133, 2023.